1. Resumen de una serie estadística
Existen tres grandes tipos de medidas estadísticas:
- Medidas de posición.
- Medidas de dispersión o variabilidad: dan información acerca de la heterogeneidad de observaciones.
- Medidas de tendencia central: dan idea de la magnitud o tamaño de los datos.
2. Medidas de tendencia central
- Media aritmética o media, (x): se trata del centro de gravedad de nuestros datos. Es la suma de todos los valores de la variable observada entre el total de observaciones. X = å x/n. Cuando los datos son agrupados, para calcular la media utilizamos como valor de referencia de cada intervalo su marca de clase (X = å mc · fi/n = media ponderada)
- Mediana (Me): es el valor de la observación tal que un 50% de los datos es menor y otro 50 % es mayor. Si el número de observaciones es impar, el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n/2) + 1. En cambio, si el número de observaciones es par, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1. Cuando el nº de observación es par, se suman los 2 valores centrales y se divide entre dos.
- Moda (Mo): es el valor con mayor frecuencia.
- Mediana (Me): es el valor de la observación tal que un 50% de los datos es menor y otro 50 % es mayor. Si el número de observaciones es impar, el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n/2) + 1. En cambio, si el número de observaciones es par, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1. Cuando el nº de observación es par, se suman los 2 valores centrales y se divide entre dos.
- Moda (Mo): es el valor con mayor frecuencia.
3. Medidas de posición
- Cuantiles: se calculan para variables cuantitativas y, al igual que la mediana, solo tienen en cuenta la posición de los valores en la muestra. Los más usuales son los percentiles , los deciles y los cuartiles.
- Percentiles: dividen la muestra en 100 partes. Para buscar la posición de un percentil en una serie de agrupadas, buscamos e intervalo en el que la frecuencia relativa acumulada (Hi) sea superior al valor del percentil. El
valor del P50 corresponde al valor de la mediana, al valor de D5
y al de Q2
- Deciles: dividen la muestra ordenada en 10 partes. El valor de D5 corresponde al valor
de la mediana y, por tanto, a los valores de P50 y de Q2.
- Cuartiles: dividen la muestra en cuatro pares.
- El Q1, primer cuartil, indica el valor que ocupa la posición en la serie numérica de forma que el 25% de las observaciones son menores y que el 75% son mayores
- El Q2, segundo cuartil, indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 50% de las observaciones son menores y que el 50% son mayores. Por tanto, el de Q2 coincide con el valor del de D5, con el de la mediana y el de de P50.
- El Q3, tercer cuartil, indica el valor que ocupa la posición en la serie numérica de forma que el 75% de las observaciones son menores y que el 25% son mayores
- El Q4, cuarto cuartil, indica el valor mayor que se alcanza en la serie numérica, es equivalente a P100 o D10
4. Medidas de dispersión
La información aportada por las medidas de tendencia central es limitada. Ejemplo:- Serie 1: 18, 19, 20, 21, 22
- Mediana serie 1=20 Media serie 1=20
- Serie 2: 9, 14, 20, 27, 30
- Mediana serie 2=20 Media serie 2=20
- ¿Qué es lo que diferencia a una serie de otra?
- Rango o recorrido (R): diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra |Xn - X1| Xn = el valor más alto de la serie. X1 = valor más bajo de la serie. Ejemplo: Rango serie 1 = 22 – 18 = |4| Rango serie 2 = 30 – 9 = |21|
- Desviación media: media aritmética de las distancias de cada observación con respecto a la media de la muestra. Dm = å |Xi - X|/n
- Desviación típica: cuantifica el error que cometemos si representamos una muestra únicamente por su media
- Varianza: expresa la misma información en valores al cuadrado
- Recorrido intercuartílico: diferencia entre el tercer y el primer cuartil.
- Coeficiente de variación: es una medida de dispersión relativa (adimensional) ya que todas las demás se expresan en la unidad de medida de la variable. Nos sirve para comparar la heterogeneidad de dos series numéricas con independencia de las unidades de medida. Siempre abarca los valores de 0 a 1
5. Distribuciones normales
- En la estadística se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussina, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
- La gráfica de su función de densidad tiene una forma
acampanada y es simétrica respecto a los valores de posición central (media,
mediana y moda que coinciden en estas distribuciones)
- Esta curva se conoce como campana de Gauss.
LSC = Limites de valores superiores
LIC = Limites de valores inferiores
|
Una distribución normal sigue estos principios
básicos:
± 1S 68,26 % de las
observaciones
± 2S 95,45 % de las
observaciones
± 1,95S 95 % de las observaciones
± 3S 99,73 % de las
observaciones
± 2,5S 99 % de las observaciones
6. Asimetrías y curtosis.
ASIMETRÍAS
g1 = 0 (distribución
simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la
izquierda de la media)
g1 > 0 (distribución asimétrica positiva; existe
mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda)
g1 < 0(distribución asimétrica negativa; existe
mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha)
CURTOSIS
- Sirve para medir el grado de
concentración de los valores que toman en torno a su media
- Se elige como
referencia una variable con distribución normal, de modo que para ella el
coeficiente de curtosis es 0.
- Los resultados
pueden ser los siguientes:
G2 = 0
(distribución mesocúrtica). Presenta un grado de concentración medio
alrededor de los alores centrales de la variable (el mismo que presenta una
distribución normal)
G2 > 0 (distribución leptocúrtica). Presenta un
elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la
variable.
G2 < 0 (distribución platicúrtica). Presenta un reducido
grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.
7. Tipificación de los valores y su relación con la campana de Gauss
7.1. La tipificación de los valores se puede realizar si...
- Trabajamos con
unas variables continuas que:
+ Sigue una distribución normal (TLC)
+ Y tiene más de 100 unidades (LGN)
- La tipificación
nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de
frecuencia
7.2. Sabemos por la forma de la curva que...
- La media coincide
con lo más alto de la campana: 8
- La desviación
típica es de 2 puntos
+ El 50% tiene puntuaciones > 8
+ El 50% tiene puntuaciones < 8
+ Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10
Media +/-1 desviación típica: 68% 8+/-1 = 6 y 10
Media +/-2 desviación típica: 95% 4 y 12
Media +/-3 desviación típica: 99% 2 y 14
7.3. Ejemplo
Nº
cigarrillos
|
2
|
4
|
5
|
7
|
8
|
10
|
12
|
15
|
16
|
20
|
25
|
30
|
35
|
40
|
Total
|
Frecuencia
|
5
|
1
|
3
|
1
|
2
|
15
|
1
|
9
|
1
|
33
|
2
|
5
|
1
|
4
|
83
|
Moda
X =
17,1
Me = 20
Q1 = 25% de 83 = 21 à Q1 = 10 Q3 =
75% de 83 = 62 à
Q3 = 20
R = Xn – X1 = 40 –
2 = 38 nº intervalos = 9.11
38/9
= 4,22
fi
|
åFi
|
hi
|
åHi
|
Mc
|
|
(2 – 6)
|
9
|
9
|
12%
|
12%
|
4
|
[6 – 10)
|
3
|
12
|
3,6%
|
15,6%
|
8
|
[10 – 14)
|
16
|
28
|
19%
|
34,6%
|
12
|
[14 – 18)
|
10
|
38
|
12%
|
46,6%
|
16
|
[18 – 22)
|
33
|
71
|
39%
|
85,6%
|
20
|
[22 – 26)
|
2
|
73
|
2,4%
|
88%
|
24
|
[26 – 30)
|
0
|
73
|
0%
|
88%
|
28
|
[30 – 34)
|
5
|
78
|
6%
|
94%
|
32
|
[34 – 40]
|
5
|
83
|
6%
|
100%
|
37
|
TOTAL
|
83
|
100%
|
Q1 está en el intervalo [10 – 14)
La
moda está en el intervalo [18 – 22)
D4 está en el intervalo [14 – 18)
La
mediana está en el intervalo [18 – 22)
P80 está en el intervalo [18 – 22)
Xp = 17.8
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